Ⅰ 多重分形模型
當今分形理論的主旋律是多重分形（Multi-fractals），因為簡單分形只用一個維數來描述其整體的特徵，不能完整地刻畫大自然的復雜性和多樣性.對於許多復雜的現象，它們包含多個層次，每個層次具有不同的統計特徵.比如，對湍流、混沌和分形生長類型的非均勻復雜幾何體，必須用多個維數來描述，才能全面刻畫其特徵.多重分形就是針對這類情況而提出的新概念.
多重分形也稱為分形測度.它是研究一種物理量在一個支撐（support）上的分布狀況，換句話說，多重分形理論是定義在分形上的多個標度指數的奇異測度所組成的無限集合.多重分形理論定量刻畫了分形測度在支撐上的分布狀況.
3.5.1 礦床分布模型
Mandelbort認為：「高品位的銅礦的分布是不均勻的，主要集中在世界少數地區.如果進一步考察其中一個地區銅礦的分布，就會發現其分布仍然是不均勻的，主要集中在少數幾個子區域之中.從統計意義來說，可以認為：在每一儲銅區，無論其區域大小，高品位的銅礦的相對分布都是相同的.」我們現在設想一個礦床分布模型（圖3.8）.為了討論方便，只限於一維的模型.假定有一單位長度的線性地區.第一步，將線性區分成三段，每段長1/3.兩端的兩段，礦產密度（聚集概率）是P1，中間一段為P2，且P2＞P1（2P1+P2=1），顯然，礦物向中間富集［見圖3.8（a）］.第二步，在0～1/3，1/3～2/3，2/3～1的三段地區再一次重復上述富集過程，9個子段的礦物濃度為，礦物的富集進一步集中在更少數地區[見圖3.8（b）].重復上述富集過程無窮次，富集作用完成，礦產分布形成.圖3.8（c）表示第三步（k=3）的結果，圖3.8（d）給出無窮步以後的情況.從上面的例子我們可以看出，最終形成的礦產是分形的，但十分復雜.為了完整地描述它，僅用單一一個分維數是不夠的，需要多個（甚至無窮多個）參量才能描述它.
從以上模型可以看出：①成礦作用具有相似性，無論哪個地段的成礦作用過程都是相似的，這就造成礦床及元素的空間分布服從分形關系；②成礦富集過程，即地質作用的多次迭加，類似於數學的多次迭加；③該模型可以用於解釋一個問題，「地質條件相似，勘查程度相等的地區，產出的礦床儲量多少相差極為懸殊」.
圖3-8 成礦模型示意圖
3.5.2 多重分形模型
我們把研究對象劃分為N個不同的區域Si（i=1，2，…，N）.設ri為第i個區域Si線度大小，Pi為該區域Si的測度（例如概率），不同的區域Si，Pi也不同，可用不同的標度指數αi來表徵.
分形混沌與礦產預測
若線度大小趨於零，則上式化為：
分形混沌與礦產預測
其中αi是分形體某小區域的分維數，稱為局部分維或標定指數，一般因區域而異，其值大小反映了該區域生成概率的大小.
在αi中，有相同α值的區域數目Ni（r）也與區域大小ri有關，即：
分形混沌與礦產預測
其中f（α）表示α在總的分布中所佔的分量，它是α的連續函數，正是它構成了多重分形譜，即f（α）譜.f（α）的物理意義是具有相同α值的子集的分維數.一個復雜的分形體，它的內部可分為一系列不同α值（Pi值）所表示的子集.這樣f（α）就給出了這一系列子集的分形特徵.
可以證明，f（α）是α的凸函數，即f（α）曲線是一條凸曲線，其峰值f（α）=D0，即相似維或容量維.f（α）=α處的值即是信息維數D1.
多重分形用α表示分形體小區域的分維數，因為小區域數目很大，於是可得一個由不同α所組成的無窮序列構成的譜並用f（α）表示.f（α）和α是描述多重分形的一套參量.
我們從資訊理論角度也可以選另一套描述多重分形的參量q和Dq.當r→0時，我們可得：
分形混沌與礦產預測
其中稱為q次概率矩，Dq稱為q次廣義分維數（或q次信息維），q是表徵多重分形不均勻程度的量，C＞0稱為比例常數，τ（q）=（q-1）Dq是q的函數，∑Pi=1.（3.5.4）式稱為多重分形模型.通過Legender變換可得（具體論述見文獻陳禺頁，陳凌.分形幾何學，1998年，p.127）：
分形混沌與礦產預測
從上式可以看出，若有二個區域m和j的概率分別是Pm和Pj，且Pm≫Pj.當q≫1時，在∑求和中顯然是起主要作用，這時的Iq（r）和Dq主要反映的是概率高（或稠密的）區域的性質.在q→∞極限條件下，可以只考慮Pmax而忽略其他的小概率，這樣就大大簡化了Iq（r）的計算.反之，當q≪1時，Iq（r）和Dq主要反映的是分布中概率比較小（或稀疏的）區域的性質.多重分形是一個由有限幾種或大量具有不同分形行為的子集合疊加而組成的非均勻分維分布的奇異集合，因此，多重分形概念是原始分形概念對於非均勻分形的自然推廣.利用多重分形這個概念，使我們能分層次地了解分形內部的精細結構.
將式（3.5.1）和（3.5.3）代入（3.5.4），可得：
分形混沌與礦產預測
由於r很小，則在求和時，Iq（r）僅當αq-f（α）取極小值時貢獻最大，由於α隨q不同而變化，故極小值條件為：
即，此式說明f（α）的斜率數值就是q階矩的階數.
即，此式說明f（α）是一個上凸曲線.
由上面二式可以求出當αq-f（α）取極小值時α的值α*（q）來.這時Iq（r）可以寫成：
分形混沌與礦產預測
代入（3.5.4），可得：
分形混沌與礦產預測
式（3.5.9）表明，如果知道α和它的譜f（α），就可以求出Dq來.反之，如果知道了Dq，我們也可以求出α來.將式（3.5.9）對q求微商，可得：
分形混沌與礦產預測
上述關系式（3.5.1）～（3.5.10）構成了多重分形的理論核心，不論用α，f（α）或q，Dq作為獨立參數都可以描述多重分形內部結構，可根據實際情況決定用哪一組參數（表3-7）.
這兩套參量之間的關系為：Dq=（1/（1-q））［qα-f（α）］或f（α）=qα-τ（q）
其中
分形混沌與礦產預測
表3-7 τ（q），α（q），f（α（q）），Dq在q=0，1，±∞處的值
定理：q次廣義分維數Dq滿足下列不等式：
分形混沌與礦產預測
證明：由不等式（簡明數學手冊，上海教育出版社，1978）
分形混沌與礦產預測
上式等號成立當且僅當所有的αi都相等.
分形混沌與礦產預測
即 Dq′≥Dq當q＞q′時
證畢
根據定理的結論，可推知：
D0（相似維）≥D1（信息維）≥D2（關聯維）
注意：上面的定理成立是有條件的，即：∑Pi=1並且當r充分小時.但是在用線性回歸方法處理實際數據並計算出廣義分維數的Dq（即線性回歸方程的斜率），不一定都符合該不等式 Dq≤Dq′（當q＞q′時）.這是因為用統計上的線性回歸方法得出的結果是整體上的結果（取決於所有的數據），它與用取極限方法得出的結果是不一樣的（參見下面的模擬研究結果）.
3.5.3 多重分形模型模擬研究
我們在計算機上產生了［0，1］區間上的均勻分布，標准正態分布和對數正態分布的隨機數各10000個，將每種分布的隨機數分成10組（即每組1000個隨機數，共有30組），用於多重分形模型的模擬研究.
將每組1000個隨機數，按從小到大的次序排列，並把隨機數分布的總區間分成r個子區間，計算進入第i個子區間內的隨機數的頻率Pi（i=1，2，…，r），令，其中r為正整數.
這樣得到了數據（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn），將這些數據代入（3.5.4）式中，然後兩邊取對數，即（3.5.4）式化為一元線性回歸模型，應用最小二乘法求出斜率的估計量，即q次廣義分維數.
具體計算結果見表3-8（圖3-9），表3-9（圖3-10）和表3-10（圖3-11）.
表3-8 均勻分布的
表3-9 正態分布的
表3-10 對數正態分布的
說明：（1）表3-8，表3-9和表3-10中的為相應分布的10組q次廣義分維數的平均值.
（2）對於均勻分布，正態分布和對數正態分布的隨機數，取n=26，ri=3+2i（i=1，2，…，26）.主要依據數據（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn）在此范圍內（q≥0），存在無標度區和統計上的要求.
（3）隨機數抽取樣本1000個，符合統計推斷的要求條件.
（4）當q→1時，廣義分維數就是信息維數D1.
為了說明q次廣義分維數D^q的意義，我們引入廣義熵Kq（r）（Renyi熵）（q=0，1，…）
分形混沌與礦產預測
圖3-9 均勻分布的擬合圖
熵是衡量隨機現象的不肯定性程度的一個度量.不肯定性程度（隨機現象的分布均勻程度）越高，熵值越大.根據（3.5.5）式和（3.5.11）式，我們可推知廣義分維數與廣義熵Kq成正比.廣義分維數可以表徵隨機數或樣本之間的結構性越大，表示隨機數或樣本均勻程度好；反之，值越小表示隨機數或樣本均勻程度差.由表3-8，表3-9和表3-10中數據可推知：均勻分布（均勻程度好）的隨機數廣義分維數＞正態分布（均勻程度居中）的隨機數廣義分維數＞對數正態分布（均勻程度差）的隨機數廣義分維數（q≥0）.以上結論與實際情況符合.廣義分維數是研究不均勻程度、復雜程度、粗糙程度和不規則程度的度量.
（註：此節的分維數大小比較與3.3.2節的結果不一致，這是因為它們的各自分維數所對應的模型不一致，從而導出的結論也不一致，因此，分維數大小的比較，一定要在相同模型和條件下進行，否則比較是無意義的.）
圖3-10 正態分布的擬合圖
圖3-11 對數正態分布的擬合圖
3.5.4 應用實例
某省地礦局物探大隊在某金礦田近400km2范圍內開展了1∶5萬水系沉積物地球化學元素測量，共得到Au和Ag數據各405個（共有810個）.
將上述金的數據以1km2為單元進行網格化，應用網格化數據繪制金地球化學異常圖3-14.該圖表明：①金異常在空間分布上與正長斑岩體具有一致性，這表明整個正長斑岩體可能是一個富金岩體.②圍繞正長斑岩體和閃長玢岩體發育環形金異常，正長斑岩體北側發育區域性線形金異常.③該金礦位於環形金異常與線形金異常的交匯域.環形與線形金異常的疊加表明該類金礦床的岩控，裂控的雙重控礦性質.④岩體內外金高濃度帶分布具有了一定的方向性，構成了一系列北西帶和北東帶.
通過因子分析確定了四類元素組合，其中一類組合為Au-Ag-Hg.Au-Ag-Hg正因子計量等值線（圖3-15）在岩體上形成兩個北東帶，在岩體北東側形成區域性北西帶，它代表了低溫金組合異常的分布.
（1）將原始數據進行標准化變換.
變換公式：
分形混沌與礦產預測
其中xi（i=1，2，…，N）為原始數據（Au和Ag元素）.
分形混沌與礦產預測
變換後的數據的平均數為0，方差為1.且各元素數據的量綱一致，且兩元素數據在標准化變換前後的相關程度不變.
（2）將標准化變換後的各元素數據，按從小到大的次序排列，並把該元素數據分布的總區間分成r個子區間，計算進入第i個子區間內的隨機數的頻率Pi（i=1，2，…，r），令：
分形混沌與礦產預測
這樣得到了數據（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn），然後將該數據繪在雙對數坐標系統中（即lnIq（r）—lnr），連接各點，曲線存在明顯的直線段，即存在無標度區（q≥0）.
（3）將數據（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn）代入（3.5.4）式中，然後兩邊取對數，應用最小二乘法求出斜率的估計量，即q次廣義分維數.
具體計算結果見表3-11（圖3-12）和表3-12（圖3-13）.
表3-11 Au數據的
表3-12 Ag數據的
圖3-12 Au數據的擬合圖
圖3-13 Ag數據的擬合圖
圖3-14 某金礦田Au地球化學異常圖
圖3-15 某金礦田水系沉積物地球化學因子計量（＞0）圖
由表3-11和表3-12中的數據可見：
（1）元素Au和Ag數據分布的均勻程度在正態分布和對數正態分布的均勻程度之間.
（2）元素Au和Ag的廣義分維數變化趨勢基本一致（q≥1），說明元素Au和Ag數據關系密切.以上結論與實際情況相符合.
Ⅱ 分形統計模型
3.3.1 分形統計模型
設分形統計模型：
分形混沌與礦產預測
其中r表示特徵尺度，C＞0稱為比例常數，D＞0稱為分維數，N（r）表示尺度大於等於r的數目（當分維數D前面的符號取負號，記為N（≥r））或尺度小於等於r的數目（當分維數D前面的符號取正號，記為N（≤r））.
為了研究方便，（3.3.1）式可分解為下面二式：
分形混沌與礦產預測
許多地質現象具有標度不變的特徵.如岩石碎片、斷層、地震、火山噴發、礦藏和油井等.這些現象的頻數和大小之間的分布具有尺度不變性.分形分布的特點要求大於等於或小於等於某一尺度的數目，與物體大小之間存在冪函數關系，即（3.3.1）式的關系.例如r可表示金品位，N（≥r）表示金品位大於等於r的樣品數目；r也可表示圓的半徑，N（≤r）表示落入半徑為r的圓中的礦體個數.
分形分布的特點要求大於某一尺度物體的數目，與物體大小之間存在著冪函數關系，地質現象的統計分布中，冪函數分形分布（即：冪函數分布、帕累托分布和齊波夫分布）不是惟一的一類，還有如對數分布等其他類型.但是冪函數分形分布是其中惟一的一類不含特徵尺度的分布.這樣，這些分布可以應用於那些具有標度不變性的地質現象.而標度不變性則提供了應用冪函數分形分布的基礎.
模型的建立，其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.
為了求出分維數D，將觀測數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），繪在雙對數坐標紙上，如果其散點大致分布在一條直線上的話，分維數D就可以利用直線的斜率求出，也就是說，將觀測數椐（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），代入（3.3.1）式，然後兩邊取對數，（3.3.1）式化為一元線性回歸模型：
分形混沌與礦產預測
用最小二乘法求出斜率D的估計量，即為分維數.目前幾乎都用此方法（傳統方法）求解分維數D.雖然用該方法求出D較簡單，但結果可能不正確（Bethea，et al.，1985），應該用非線性回歸模型的方法去估計參數C和D.
事實上，（3.3.1）式是非線性回歸模型，其中C，D為未知參數，用非線性回歸模型的中最小二乘法直接求出（3.3.1）式中參數D的估計量也是分維數.用這種新方法求出的分維數D比上面傳統方法（即（3.3.1）式轉化為一元線性回歸模型（3.3.2））求出的分維數更精確（即誤差更小）.
新方法有以下優點：
（1）使用傳統方法求分維數D，要對原始數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），同時作對數變換，但是在大多數情況下，原始數據特別是（r1，r2，…，rn），不適合作對數變換.新方法直接用原始數據求分維數D，因而避免了以上情況出現.
（2）使用新方法可以求出分維數估計量的近似偏差和方差，同時也能求出近似預測偏差和預測方差.使用傳統方法不能得到上述的結果（使用傳統方法求出（3.3.2）式中D的偏差和方差，同使用新方法求出（3.3.1）式中D的偏差和方差有著根本區別）.
（3）使用新方法求出的參數估計量比使用傳統方法求出的參數估計量在擬合分形模型時更好，即剩餘平方和更小（剩餘平方和是衡量擬合的優良程度的定量指標），並且參數估計量更穩定.
3.3.2 分形統計模型模擬研究
我們在計算機上產生了［0，1］區間上的均勻分布，標准正態分布和對數正態分布的隨機數各10 000個，將每種分布的隨機數分成10組（即每組1000個隨機數，共有30組），用於分形統計模型的模擬研究.
將每組1000個隨機數，按從小到大的次序排列，並把隨機數分布的總區間分成k個子區間，統計進入第i個子區間內的隨機數的頻數NFi（i=1，2，…，k），令，其中r為正整數.
這樣得到了數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），將這些數據代入分形統計模型（3.3.1″），應用最小二乘法，可求出分維數估計量.
具體計算結果見表3-1，表3-2和表3-3.
表3-1 均勻分布分維數估計量D^
表3-2 正態分布分維數估計量D^
表3-3 對數正態分布分維數估計量D^
在表3-1，表3-2，表3-3中：①對於均勻分布的隨機數，取k=150，n=26，ri=2i（i=1，2，…，26）；②對於正態分布的隨機數，取k=80，n=21，ri=2i+10（i=1，2，…，21）；③對於對數正態分布的隨機數，取k=100，n=21，ri=2i（i=1，2，…，21）；④對於不同分布的隨機數據，k和r的取值范圍也不相同，主要依據數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），在此范圍內，存在無標度區和統計上的要求；⑤隨機數抽取樣本1000個，符合統計推斷的要求條件.
由表3-1，表3-2和表3-3中的數據可推出以下的結果：
（a）用新方法求出分維數估計量比使用傳統方法求出分維數估計量更趨於穩定.因為標准差是數據分散程度的定量描述，標准差越小，數據越集中於平均數附近.
（b）分維數D值可以表徵隨機數或樣本之間的結構性.根據分形統計模型（3.3.1″）可看出，D值越小表示隨機數或樣本之間的差異越小，即均勻程度好，反之，D值越大表示隨機數或樣本之間的差異越大，即均勻程度差.均勻分布（均勻程度好）的隨機數分維數（平均值0.1287）小於正態分布（均勻程度居中）的隨機數分維數（平均值0.6853）小於對數正態分布（均勻程度差）的隨機數分維數（平均值0.9762）.以上結論與實際情況符合.
3.3.3 應用實例
西藏羅布莎鉻鐵礦成礦預測.
西藏羅布莎鉻鐵礦礦床是我國目前已知最大的鉻鐵礦礦床，已探明的鉻鐵礦石儲量近500萬t，佔全國探明儲量的三分之一以上.因而，對西藏羅布莎鉻鐵礦礦床進行成礦預測工作具有非常重要的意義.
羅布莎蛇綠岩體地處著名的雅魯藏布江蛇綠岩帶的東段，位於岡底斯火山-岩漿弧的南側，岩體呈向北凸出的弧形展布於晚三疊世巨厚的淺變質砂板岩夾少量結晶灰岩和細碧角斑岩的復理石建造與晚白堊世海相火山岩、放射蟲硅質岩以及第三系山間磨拉石建造之間，岩體平面形態似透鏡狀，局部被斷層錯開，主體呈東西向延伸，長約30km，最寬處約3km（李紫金等，1993）.
通過對該礦床的研究，認為地表礦體、礦群、礦床儲量的空間分布具有較好的分形結構特徵即自相似性，可用分形統計（3.3.1′）模型作為第四系覆蓋區下找礦遠景地段礦體、礦群及其資源量的預測模型.
1.地質條件
研究表明，盡管羅布莎礦段與香嘎山礦段礦體出露的標高及在地幔橄欖岩中的位置略有不同、岩石礦石化學成分及物性表現上有所差異，但它們均處於同一地幔橄欖岩內，屬於同一成岩成礦作用的產物，原始的構造含礦雜岩帶統一，經構造解析，認為全區的礦體在同一構造含礦雜岩帶內.因而，將模型區擴大到整個兩礦段地區，在地質上是可行的.
2.數學條件
羅布莎鉻鐵礦礦床自相似性體系的礦床諸參數表現出自相似性，將觀測數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），繪在雙對數坐標系統中（即lgN（r）—lgr），連接各點，曲線存在明顯的直線段，即存在無標度區.自相似性是事物在一定尺度范圍（無標度區）內不隨觀察尺度變化的性質，無標度區一部分所得到的結論可以外推到整個無標度區.模型區地表礦體、礦群及其儲量的空間分布在5～40cm的范圍（無標度區）內具較好的分形結構即自相似性.因此，在礦床自相似性體系內，可以將該無標度區的上限外推至55cm，此時分形結構不發生改變或改變不大.
3.模型區與預測區的相似類比
預測的礦體及礦群是第四系覆蓋區下基岩表層的礦體及礦群，預測的資源量是與模型區C+D級儲量對應的礦量.第四系的研究表明，預測區的第四系為殘坡積物及少量的冰磧物，所以認為模型區與預測區地表風化剝蝕狀況及礦體的保存條件近於相似，模型可以外推.
4.資料來源及參數估計
（1）地表礦體
模型區內，在1∶10000地形地質圖上標出的分布於構造含礦雜岩帶內的地表礦體共152個（見圖3-1和圖3-2），把每個礦體看成是以其中心為代表的一個點（圖3-3和圖3-4）.以礦體分布的重心或中心為圓心，圓心不動，以不同的半徑r畫圓，計算每次落入圓中礦體的個數，記為N（r）（表3-4）.在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.7841，C（0）=100.9348=8.6060為迭代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），量，剩餘平方和Q（0.7568，9.4039）=114.6947＜Q0（0.7841，8.6060）=125.3347.最大固有曲率ΓN=0.03418＜0.220=1/（2F1/2（2，6，0.05））（見附錄A）.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計.因此分形統計模型（3.3.1′）可作為地表礦體預測的數學模型.即：
分形混沌與礦產預測
表3-4 地表礦體數據
（2）地表礦群
在1∶10000地形地質圖上，模型區構造含礦雜岩帶中的礦群14個.每個礦群可看成是以其中心為代表的一個點.圓心及半徑的定義與地表礦體的相似，r的取值仍與地表礦體的相同.圓心不動，以不同的半徑r畫圓，計算每次落入圓內的礦群個數，記為N（r）（表3-5），在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.8982，C（0）=10-0.3130=0.4864為迭代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），量，剩餘平方和Q（0.9298，0.4384）=1.3014＜Q0（0.8982，0.4864）=1.38，最大固有曲率ΓN=0.04715＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））（見附錄A）.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計，因此分形統計模型（3.3.1′）可作為地表礦群預測的數學模型.即：
分形混沌與礦產預測
表3-5 地表礦群數據
圖3-1 羅布莎地區構造略圖
圖3-2 羅布莎—章嘎構造剖面圖
（3）礦床儲量
在1∶10000地形地質圖上，對模型區內構造含礦雜岩帶里的C+D級鉻鐵礦石儲量4211418t的分布資料進行研究.圓心及半徑的定義與地表礦體的相似，圓心不動，計算在不同的r半徑下落進球（實際為圓，因為將儲量的分布投影到1∶10000地形地質圖上）內的C+D級礦石儲量，記為N（r）（表3-6），在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.7048，C（0）=105.5101=323668.176為迭代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），剩餘平方和Q（0.6654，367166.9）=0.3350161×1012＜Q0（0.7048，323668.176）=0.3551732×1012，最大固有曲率ΓN=0.06086＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計，因此分形統計模型（3.3.1′）可作為礦床儲量預測的數學模型.
即：
分形混沌與礦產預測
表3-6 地表礦石儲量數據
圖3-3 見礦孔在水平投影面上的投影點圖
5.預測結果及參數意義的解釋
以礦群上最大的礦體為圓心，r=5，10，15，…，50，55cm（1∶10000地形地質圖上），將r回代入上面（3.3.3），（3.3.4）和（3.3.5）式中，計算在r=55cm總的數量減去已知數量即為香嘎山礦段第四系下預測的資源量.結果為：「地表」礦體43個，「地表」礦群4個（取整），資源量（鉻鐵礦石）：1071815.342t.礦石質量：礦石以緻密塊狀為主，少量為稠密浸染狀礦石，w（Cr2O3）=52.7；鉑族元素總量平均品位為0.497g/t，總資源量為532.692kg.預測結果與常規方法計算結果較一致（見圖3-5，圖3-6和圖3-7）.
密度定義為：ρ=N（r）/（πr2）=（C/π）rD-2
當 D=2.0 時，密度ρ=C/π.表明密度均勻；
當 D＞2.0 時，密度ρ隨著r的增大而增大；
當 D＜2.0 時，密度ρ隨著r的增大而減少；
當 r=1.0 時，C=πρ=N（1）.
0.6654（礦床儲量分維數）＜0.7568（地表礦體分維數）＜0.9298（地表礦群分維數）＜2表明：隨著r的增大，礦床儲量，地表礦體和地表礦群的密度逐步減少.
因此分維數D定量表達了礦體分布的密度變化趨勢.C表示礦體分布的初始值，它們對礦產資源勘查、預測與評價具有重要的指導意義.
圖3-4 礦體中心在E—W向垂直投影面上的投影點圖
圖3-5 礦體原始數據曲線擬合圖
圖3-6 地表礦群原始數據曲線擬合圖
圖3-7 礦床儲量原始數據曲線擬合圖
Ⅲ 關於股市中的模型理論，有哪些書籍可以學習
網站可以去理想論壇和淘股吧，上面有許多可以學習的貼子。
要看的書挺多，而且枯燥，你確定你可以看下來嗎？
下面是一些最為經典的書籍，希望能幫助到你，我認為其中的波浪理論、江恩，還有混沌和分形可以不看，其餘這些書如果有精力還是都應該看的，參與交易不難，難的是有一套正確的屬於自己的交易系統，並持之以恆的操作下去！路很長，希望你可以堅持到成功！
第一部分、關於道氏理論
1、股市晴雨表 （美） 漢 密爾頓
2、道氏理論－－市場分析的基石 陳東
第二部分、K線技術
1、日本蠟燭圖技術 （美） 史蒂夫。尼森
2、股票K線戰法 （美） 史蒂夫。尼森
3、蠟燭圖方法：從入門到精通 （美）斯蒂芬 W.比加洛
4、主控戰略K線 （台灣）李進財 謝佳穎 阿民
第三部分、關於波浪理論
1、波浪原理 （美）艾略特
2、艾略特名著集（含自然的法則） （美）小羅伯特.R.普萊切特
3、艾略特波浪理論－－市場行為的關鍵 （美）小羅伯特.R.普萊切特
4、艾略特波浪原理三十講 侯本慧、郭小洲
5、費波納茨奇異數字的應用和買賣交易策略 羅伯特。費雪
第四部分、關於江恩理論
1、華爾街四十五年 （美）江恩
2、江恩理論——金融走勢分析 （香港）黃柏中
3、江恩投資實戰技法 侯本慧、郭小洲
4、江恩角度線與時間之窗 侯本慧、郭小洲
5、江恩投資幾何學原理 候本慧
第五部分、關於混沌和分形
1、證券混沌操作法 （美）比爾。廉姆斯
2、證券交易新空間－－面向21世紀的混沌獲利方法 （美）比爾。廉姆斯
3、資本市場的混沌與秩序 （美）埃德加。E。彼得斯
4、分形市場分析－－將混沌理論應用到投資與經濟理論上 （美）埃德加•E•彼得斯
第六部分、交易心理
1、直覺交易商 （美）羅伯特。庫佩爾
2、冷靜自信的交易策略 （美）理查。邁克爾
3、重塑證券交易心理－－把握市場脈搏的方法和技術 （美） Brett N. Steenbarger
4、投資心理規則：錘煉贏者心態 （美） 羅伯特.庫佩爾；霍華德.阿貝爾
5、投資心理學 （美） 傑克．伯恩斯坦
6、金融心理學－－掌握市場波動的真諦（修訂版） （挪威）拉斯.特維斯
第七部分、關於技術方法
1、股市趨勢技術分析 （美 ） 約翰.墨吉
2、期貨市場技術分析 (美)約翰•墨菲
3、期貨交易技術分析 （美） 施威格
4、股價型態總覽 （美）David L. Bradford,Allan R. Cohen
5、專業投機原理 （美） 維克多•斯波朗迪
6、股票大作手操盤術 （美）傑西•利物默
7、操作生涯不是夢 （美）Alexander elder
8、期貨交易策略（克羅談投資策略） （美）斯坦利.克羅
9、你也可以成為股票操作高手 （日）立花義正
10、短線交易秘訣 （美）拉瑞。威謙姆斯
11、多空操作秘笈 （美）史丹•溫斯坦
12、技術分析精論 （美）馬丁。J。普林格
13、多空交易日誌 （台灣）邱逸凱
14、股票技術分析新思維－－來自大師的交易模式 （美） 瑞克•本塞諾
15、交易的藝術－－左右腦並用的投資法 （美）麥馬斯特
16、穩操勝算 （加拿大） William R. Gallacher
17、股票操作學 （台灣）張齡松
第八部分、關於系統方法
1、通向金融王國的自由之路 （美）范。K。撒普
2、高級技術分析 （美）Bruce Babcock
3、技術交易系統新概念 （美）威爾德著
4、系統交易方法 波濤
5、證券期貨投資計算機化技術分析原理 波濤
6、證券投資理論與證券投資戰略適用性分析 波濤
第九部分、關於理念
1、炒股的智慧 陳江挺
2、金融怪傑 （華爾街操盤高手） （美） 施威格
3、新金融怪傑 （華爾街點金人） （美） 施威格
4、美國期貨專家經驗談 （美）威可夫
5、操盤建議－－全球頂尖交易員的成功實踐和心路歷程 （英）阿爾佩西.帕特爾
6、投機智慧 （香港） 許沂光
7、亞當理論 （美）韋爾德
8、攻守四大戰技 （美）Bruce Babcock
9、期貨決勝108篇 （香港）劉夢熊
第十部分、關於人物傳記
1、股票作手回憶錄 （美） 愛德溫。李費佛
2、交易冠軍 （美）馬丁。舒華茲
3、投機生涯 （美）維克多。尼德霍夫
第十一部分、關於智慧韜略
1、孫子兵法
2、戰爭論
3、五輪書
第十二部分、其他
1、與天為敵 （美）彼得。伯恩斯坦
2、戰勝華爾街 （美）彼得。林奇
3、歐奈爾制勝法則－－如何在股市中賺錢 （美）歐奈爾
4、漫步華爾街 （美）伯頓•麥基爾
除此之外，盡可能讀一讀佛學、易學、道學，哲學，這些對你的交易會有幫助。
三個忠告：一、不要試圖尋找不可能的捷徑，世上沒有便宜的事，只有腳踏實地才是最好的方法…無論做何事。二、不要對明知不是好事的事過分好奇，有可能你會因此而喪命。三、不要在沖動時做任何決定，否則這個決定就有可能成為你一輩子的遺憾。
Ⅳ 大師推薦幾本股票&期貨書籍
1、【期貨市場技術分析】：[美]約翰.墨菲本書為美國紐約金融學院教材，本書系美國市場技術頂類級分析大師約翰墨菲的代表作，被譽為當代市場技術分析的聖經!本書集各種市場技術分析理論和方法之大成，總是一針見血地指出各種方法在實際應用中的長處、短處以及在各種環境條件下把它們取長補短地配合使用的具體做法，同時，一身兼有優秀教材、權威工具書、實用操作指南三大特色。
2、【期貨交易技術分析】 [美國]jack d .schwager（茨威格博士）簡介：史瓦格是【投機智慧】英文原版的作者，是個實戰家寫的投資分析的好書，書中蘊含著他是如何成為當今頂尖權威投資專家之一的內在原因。這是一本實用的書，但是不是所有人都明白其中的好處的，只有到你實際使用碰到了問題的時候，翻看此書時才有體會，後面的第五篇才是精華。本書共分5篇22章，全面講述了期貨交易中的圖表分析方法與策略，以通俗易懂得語言描述了期貨技術分析中的重要原理和技巧，如止損點的選擇。目標設置及退出原則等等（註：以上兩本書是期貨業內人必看的兩本書!就像學漢字不能沒新華字典、學英語不能沒牛津大字典一樣的，是在放在枕邊不斷研讀的兩本必備參考工具書。
3、【市場輪廓理論】 英文原名：《Market Profile》。是出自美國交易所場內交易員新興的分析方法，香港翻譯為《四度空間》.但是本書國內版本網主對照香港版本後，感覺翻譯的更好，而且很有深度。對於研究短線交易幫助尤其大。由美國交易所的場內交易員發明的國際上最先進的短線分析技術，國內最詳細的介紹的版本。
4、【華爾街點金人--華爾街精英訪談錄】 作者：[美]傑克.茨威格博士簡介：「投機智慧」的續編，比之更為出色。在金融市場總有些交易員出類拔萃，在風雲莫測的市場變化中，這些技巧大師是如何出奇致勝的呢？他們的不同之處何在？請聽聽《華爾街點金人》的真知灼見吧。
5、【短線交易秘訣】 威廉斯作者是「威廉斯指標」的發明者。當今美國著名的期貨交易員和資產管理經理，他是羅賓斯杯期貨交易冠軍賽的總冠軍，在不到12個月的時間里使1萬美金變成110萬美元。一個有35年實戰經驗的大師級人物介紹自己的獨特短線方法。
6、【股票大師回憶錄】（股票作手回憶錄）作者：[美]埃德溫.里費簡介：是70多年以來最值得推薦給投資者的經典書籍，介紹迄今最偉大的股票和期貨投機天才Jesse Livermore生平事跡的經典作品,在二十世紀初在期貨、股票市場中數次破產後數次崛起酸甜經歷，在交易心態描寫方面尤其出色，是克羅未謀面的導師。一代又一代的金融專業人士和交易員都閱讀過這本書。
7、【系統交易方法】交易系統、數學模型設計系列最為推薦的是原任國內股票市場管理「泰和基金」的嘉實基金公司的投資總監留美金融博士波濤寫的，書中介紹電腦程序交易系統由理論向實戰轉變過程的心得及國際上五位著名大師的交易系統。
8、【操盤建議—全球頂尖交易員的成功實踐和心路歷程】（英）阿爾佩西·帕特爾著 內容簡介：成功的秘訣在於一種心智結構、看待事物的方法。這是一段艱難的旅程，你應該吸取成功者的經驗和教訓，避免親自經歷虧損。本書探索全球頂尖交易員的操作哲學、行為和戰術，找出在市場中成功的策略及制勝的方法。本書把所有的操作策略都擺在心智架構中討論，通過頂尖交易員的經驗展現出來，並進入這些交易員的內心深處，探究他們如何執行獲勝的策略，以及究竟是什麼不尋常的心智結構，使得這些交易員能夠穩定獲利。
9 .【期貨交易策略】 作者：STANLEY KROLL 斯坦利.克羅(美國9大期貨大師之一來華講座時的著作） 內容簡介「經歷這些年，我仍關心從市場上獲利—獲取暴利。但在衡量巨大的財務風險、緊張情緒、寂寞、孤立、自我懷疑，甚至莫名的恐懼，自然這全是期貨操作者的經常伴侶，你不應該只以獲利為滿足。暴利必須成為你的目標。」——Stanley Kroll
10、【專業投機原理】 [美]維克多·斯波朗邊作者是華爾街的風雲人物、在華爾街創下了從1978年到1989年連續12年投資贏利、沒有任何一年虧損的驕人戰績。那麼，他是如何做到常盛不衰的呢?來自「華爾街的終結者」維克多的專家建議和回答就全在這本1992年被《商業周刊》評為「年度最佳商業圖書」的《專業投機原理》裡面了....。
11、【混沌操作法】( Trading Chaos) 作者：[美] 比爾.威廉姆本書將提供一種單純而明確的方法以解決上述謎題，並使你成為穩定的贏家，而不是必然的輸家。我為什麼能夠這樣肯定呢？因為這曾經為2萬多位交易者講授交易方法，並為450位學員做特別的訓練，他們目前都是專業交易員。我本身也是交易員，並且在市場中享有35年的成功經驗。本書內容主要都是來自於我特別訓練課程中的教材。
12.【日本蠟燭圖技術】（美）史蒂夫·尼森如果你能用心去看，並結合實際操作，反復的體會------將對你的投資決策代來很大幫助。這本書是我們期貨人入行的必讀書！！！
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13.【艾略特波浪理論：市場行為的關鍵】（美）普萊切特 （美）普萊切特它揭示了投資市場運動的基本哲理，從理論到中心哲學思想都是科學的,完整的一套有用的投資書。
14.【克羅談投資策略——神奇的墨菲法則】（美）克羅（Krol S.）斯坦利·克羅先生可謂期貨市場上的一位傳奇式人物，1960年斯坦利先生進入了全球金融中心華爾街。他在華爾街的33年之中，一直在期貨市場上從事商品期貨交易...
15.【華爾街操盤高手】
16.【通向金融王國的自由之路】大多數投資者都相信有一個通向市場的魔術般的規則。他們還相信肯定有一小部分人知道這個規則就是那些從市場上獲得了大筆財富的人。因此這些人一直努力想揭開這個秘密，從而變得同樣富有。但是，只有少數人知道去那裡尋找，因為答案在他們最不可能想到的地方…… 本書中充滿了各種可以真正幫助所有交易上和投資者充分提高受益的信息。
17.【駕馭市場優秀交易商是如何造就的】[美]詹姆斯·道頓艾立克·瓊斯羅伯特·道頓本書是一部關於期貨市場、外匯市場以及證券市場的交易理念和操作技巧的專著；同時，又是一部完事地介紹四度空間理論和應用的經典著作。
四度空間理論是近年來在國際金融市場中崛起的、發展前景非常廣闊的新型技術分析理論。與傳統的以蠟燭圖等為基礎的技術批示和形態分析相比，四度空間圖無論從分析觀察市場角度上，還是實戰效果（尢其是短線操作）上，都獨具魅力。自20世紀80年代問世以來，迅速吸引了越來越多市場專業人士和廣大投資者的目光。
本書原版自1993年在美國公開發行以來，已兩次再版，本書是其最新版的中譯本。全書以新穎的構思、由淺入深的講解，為讀者奉獻了一筆非常寶貴的金融交易財富。
18、【投機智慧】 [香港]許沂光 （這里國內翻譯版的，原英文版的也是jack d .schwager寫的）簡介：介紹美國十一個期貨、股票交易大師的成功和失敗血淚歷程。每每是在我承受市場的打擊後，一次又一次的重新閱讀，曾都給予了我不少的支持，恢復了信心，其中不少戰例叫人拍案叫絕。
19、《期貨決勝108篇》 作者：[香港]劉夢雄 簡介：國內最好的期貨入門書籍，內容深入淺出、圖文並茂 .介紹了經紀人開發客戶和客戶剛入門的不少的故事。（是早幾年一本很流行的讀物。現在這本書在大陸已幾成絕版，身價翻了好幾倍。
20.【原版海龜交易法則】
21.【空中隧道--江恩】
22.【投資組合管理公式】
23.【期貨歷史故事經典案例 】
24.【期貨投機寶典】
25.【我曾經活在菜刀邊緣 ——期貨故事】
26.【期貨操盤手】
27.【期貨大師的風采－－－人物傳記 】
28.【期貨人生－－－真實的神話故事】
29.【行業案例】
30.【一個妹妹的期貨經歷】
31.【台灣名家－－刀疤老二】
Ⅳ 金融學前沿課題
我是一個理財師，對於金融方面的知識還是比較了解一些的，而且我自己也是金融學專業的人，我們的金融學，比較前沿的課題有下面幾個，希望大家可以參考：
第一、金融模型的研究是一個比較困難的前沿學科，對於經濟和金融的數據化分析要求十分的高，特別是金融模型，必須在數學基礎上開始建立自己的研究項目，這點要求金融學的人，必須有極高的數學素養。
第二、金融貨幣推理，這是一種對於貨幣分析的前沿研究，難度比較大，而且現在的研究范圍還比較小，所以要求專業性極強，特別是對於貨幣知識，要求有一定的專門實際操作的經驗，這點來說難度很大。
第三、金融衍生品的學術研究，是金融專業裡面實用的專業，也是比較前沿的專業，金融衍生品有很多類型，比如期權期貨互換之類，要求研究的人專業性比較強，同時具備一定的實際知識。
第四、金融的資金融通，是一個研究的最前沿，也是現在國際和國內比較關注的一個研究課題，不過這類研究范圍很大，幾乎涵蓋所以的金融轉換，所以研究的人必須具備極高的金融學和經濟學基礎。
第五、金融服務研究，這類研究是最近十幾年開始的一個研究課題，主要是對於金融行業繼續深化服務品質的一種研究，提高金融效率的一種研究。
上的這些研究的課題，對於金融專業來說，是最前沿的研究項目，其復雜程度很高，所以金融專業的人，要研究這些課題需要付出極大的努力，而且要有一種毅力，我在這方面有一定接觸，所以希望開始研究的朋友們，把自己的精力全部的集中起來，這樣才可以真正的做好研究工作！
Ⅵ 分形理論有什麼用處
形理論(Fractal Theory)是當今十分風靡和活躍的新理論、新學科。分形的概念是美籍數學家本華·曼德博（法語：Benoit B. Mandelbrot）首先提出的。分形理論的數學基礎是分形幾何學，即由分形幾何衍生出分形信息、分形設計、分形藝術等應用。
分形理論的最基本特點是用分數維度的視角和數學方法描述和研究客觀事物，也就是用分形分維的數學工具來描述研究客觀事物。它跳出了一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維時空的傳統藩籬，更加趨近復雜系統的真實屬性與狀態的描述，更加符合客觀事物的多樣性與復雜性。
上世紀80年代初開始的「分形熱」經久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展應用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過：今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。 分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義。
註：分形理論好比拿著顯微鏡看一公里有多長只適用於科學研究，對於學習和現實生活中的長度，我們所採用的依然是理想情況下的約定俗成。