杠桿平衡與角度

A. 怎樣從數學的角度解釋杠桿原理

[編輯本段]原理簡介
杠桿原理亦稱「杠桿平衡條件」。要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力（用力點、支點和阻力點）的大小跟它們的力臂成反比。動力×動力臂=阻力×阻力臂，用代數式表示為F1• L1=F2•L2。式中，F1表示動力，L1表示動力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂。從上式可看出，欲使杠桿達到平衡，動力臂是阻力臂的幾倍，動力就是阻力的幾分之一。
古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言：「給我一個支點，我就能撬起地球！」這句話有著嚴格的科學根據.
阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中最早提出了杠桿原理。他首先把杠桿實際應用中的一些經驗知識當作「不證自明的公理」，然後從這些公理出發，運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了杠桿原理。這些公理是：（1）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；（2）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；（3）在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下傾；（4）一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替（5）相似圖形的重心以相似的方式分布……
正是從這些公理出發，在「重心」理論的基礎上，阿基米德發現了杠桿原理，即「二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。阿基米德對杠桿的研究不僅僅停留在理論方面，而且據此原理還進行了一系列的發明創造。據說，他曾經藉助杠桿和滑輪組，使停放在沙灘上的桅般順利下水，在保衛敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰斗中，阿基米德利用杠桿原理製造了遠、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻於敘拉古城外達3年之久。
[編輯本段]概念分析
在使用杠桿時，為了省力，就應該用動力臂比阻力臂長的杠桿；如欲省距離，就應該用動力臂比阻力臂短的杠桿。因此使用杠桿可以省力，也可以省距離。但是，要想省力，就必須多移動距離；要想少移動距離，就必須多費些力。要想又省力而又少移動距離，是不可能實現的。正是從這些公理出發，在「重心」理論的基礎上，阿基米德發現了杠桿原理，即「二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。
杠桿的支點不一定要在中間，滿足下列三個點的系統，基本上就是杠桿：支點、施力點、受力點。
其中公式這樣寫：支點到受力點距離(力矩) * 受力 = 支點到施力點距離(力臂) * 施力，即F1*L1=F2*L2這樣就是一個杠桿。
杠桿也有省力杠桿跟費力的杠桿，兩者皆有但是功能表現不同。例如有一種用腳踩的打氣機，或是用手壓的榨汁機，就是省力杠桿 (力臂 > 力矩)；但是我們要壓下較大的距離，受力端只有較小的動作。另外有一種費力的杠桿。例如路邊的吊車，釣東西的鉤子在整個桿的尖端，尾端是支點、中間是油壓機 (力矩 > 力臂)，這就是費力的杠桿，但費力換來的就是中間的施力點只要動小距離，尖端的掛勾就會移動相當大的距離。
兩種杠桿都有用處，只是要用的地方要去評估是要省力或是省下動作范圍。另外有種東西叫做輪軸，也可以當作是一種杠桿的應用，不過表現尚可能有時要加上轉動的計算。
古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言："假如給我一個支點，我就能把地球挪動!"這句話不僅是催人奮進的警句，更是有著嚴格的科學根據的。
[編輯本段]杠桿分類
杠桿可分為省力杠桿、費力杠桿和等臂杠桿。這幾類杠桿有如下特徵：
1.省力杠桿：L1>L2, F1<F2 ,省力、費距離。如拔釘子用的羊角錘、鍘刀，瓶蓋扳子，手推車等。
2．費力杠桿： L1＜L2, F1＞F2,費力、省距離，如釣魚竿、鑷子，筷子，船槳等。
3．等臂杠桿： L1＝L2, F1＝F2,既不省力也不費力，又不多移動距離，如天平、定滑輪等。

B. 30度夾角與杠桿的關系

通常,垂直於杠桿的力 最小 因為可以獲得最大力臂
設 杠桿長度為L 所以 阻力臂為 根號3 *L/2 動力臂為1/2L
根據杠桿平衡條件 F 1/2L = G 根號3 *L/2
F =100倍根號3
=173.2N

C. 杠桿平衡

1.杠桿平衡：當杠桿在動力和阻力作用下靜止或勻速轉動時，我們就說杠桿平衡了。
注意：
① 靜止包括水平靜止和傾斜靜止；
② 杠桿勻速轉動，也是一種平衡狀態。屬於「動平衡」。即在相等時間內能轉過相等的角度。高中將學習和研究。而杠桿靜止不動的平衡則屬於「靜平衡」。
2.杠桿的平衡條件（杠桿平衡原理）：動力×動力臂=阻力×阻力臂，公式表示為：F1•l1 = F2•l2；或F1/F2=L2/L1。

希望幫助到你，若有疑問，可以追問~~~
祝你學習進步，更上一層樓！(*^__^*)

D. 杠桿傾斜平衡

只要兩個力的方向平行，即保持平衡。
【維持原運動狀態不變，原來靜止即繼續靜止；原來運動即勻速擺動】

E. 杠桿受外力平衡，改變杠桿傾斜角度，重心位置與支點是否變化，如何變。杠桿傾斜平衡受力分析包括杠桿重力

要看重心是支點上，還是與支點在豎方向的一條線上。如果在支點上，重心位置不變，不在支點上，重心位置會發生變化【摘要】

杠桿受外力平衡，改變杠桿傾斜角度，重心位置與支點是否變化，如何變。杠桿傾斜平衡受力分析包括杠桿重力【提問】

要看重心是支點上，還是與支點在豎方向的一條線上。如果在支點上，重心位置不變，不在支點上，重心位置會發生變化【回答】

為什麼水平位置平衡的杠桿傾斜時不平衡，含杠桿重力分析【提問】

因為兩邊受力不同【回答】

F. 杠桿平衡公式

杠桿平衡實際上就是物體轉動的平衡，這與物體平動的對應的力的平衡是對應的。

杠桿平衡的物理量叫做力矩（M），是力的大小與力的作用線到支點距離的乘積，也就是力×力臂，單位為N·m，不可以寫成能量的單位焦耳(J)。

如圖所示，杠桿的支點在O，距離左端1/4桿長，左右兩端分別有F1和F4作用，全桿的正中間有力F2作用，距離左端3/5處有傾斜力F3作用，與水平桿夾角為30°。

根據力矩的定義

F1相對於支點O的力矩為M1=F1×L/4=0.25F1L

F2相對於支點O的力矩為M2=F2×L/4=0.25F2L

F4相對於支點O的力矩為M4=F4×3L/4=0.75F4L

F3是個傾斜的力，根據力矩的定義，力臂為點O到力的作用線的距離，你可以延長F3然後做出O到延長線的垂線段的，垂線段的長度就是F3的力臂。

第二種方法就是將F3分解成垂直正交的的兩個分離F3x和F3y，F3y的力臂為3L/5-L/4=0.35L

F3x的延長線過了支點O，故而力臂為零，那麼F3x的力矩為零，那麼F3的力矩M3就只有F3y的力矩故而M3=F3y×0.35L=0.5F3×0.35L=0.175F3L

杠桿平衡的條件時所有力矩的代數和為零。

即正力矩+負力矩=0

力矩是有方向的，它分為順時針和逆時針兩個方向，圖中，我們可以看到如果只有F1作用，桿會繞O點逆時針方向轉動，我們可以定義逆時針方向力矩為正，那麼F1的力矩M1就是正力矩，而F2單獨作用會使桿順時針轉動，故而力矩M2為負，在代入上述的平衡等式時，要加上負號。

根據圖中關系我們可以有

(M1+M4)+(M2+M3)=0

即(0.25F1L+0.75F4L)+(-0.25F2L-0.175F3L)=0

G. 為什麼有的杠桿是水平平衡有的杠桿是傾斜平衡

在具體的一個杠桿中，其支點的結構都是能使杠桿處於自穩定的結構。回
什麼意思呢？就是如果答有外力產生一個新的力矩，破壞掉原來的平衡條件，使杠桿產生傾斜，則在這個傾斜過程中，杠桿的自穩定結構會產生支點微移、力臂重量的重新分布等，從而產生一個抵消外力的力矩，這個叫自平衡力矩。
自穩定結構在最大傾斜處產生的最大自平衡力矩叫這個杠桿的穩定范圍。
杠桿每傾斜1度，自穩定結構所產生的自平衡力矩叫這個杠桿的穩定度。
穩定度的倒數叫這個杠桿的靈敏度。
比如，當杠桿在左側增加一個小砝碼，則左側力矩增加，杠桿左傾，錐形支點與杠桿的接觸處微小左移（或由於支點位置在水平桿的上側，左傾時重心右移，可等效支點左移），左側力臂減小，左側力矩減小，右側力臂增加，右側的力矩增加，這個左右兩側力矩差就是自平衡力矩，與外加小砝碼產生的力矩方向相反。
隨傾斜角度增加，自平衡力矩增加，當自平衡力矩與小砝碼產生的力矩相等時，杠桿就在這個傾斜角度穩定平衡。
如果小砝碼太大，產生的力矩大於杠桿的穩定范圍，則這個杠桿產生傾覆，杠桿結構破壞，這時的狀態就不能用杠桿平衡的公式進行計算了。

H. 杠桿平衡了以後 讓他偏轉一個角度 理論上應該保持靜止 可為什麼實際中會偏轉回去

在杠桿有了偏轉角度後，杠桿的重心偏移，所以杠桿又回到原位置
數理化全精通為您解答
請採納
O(∩_∩)O謝謝
你也可以想像一下，是一根繩子掛著這個杠桿，你把它偏轉了，它是不是又會轉回來，就是重心變了而已
不懂可追問
重心：http://ke..com/view/18274.htm

I. 為什麼不平衡的杠桿轉過一定角度後又會平衡

這個問題我們可以用例表來證明。
設一雙襪子為15克、水份不同時間分別為7克、5克、3克、0克、杠桿L1為2、L2為3
第一次等式平衡3*（15＋7）*2＝2（15＋7）*3
第二次等式：3*（15＋5）*2＝2*（15＋5）*3、等式也平衡
第三次等式：3*（15＋3）*2＝2*（15＋3）*2等式也平衡
第四次等式：3*（15＋0）*2＝2*（15＋0）*3等式也平衡。
有此可見杠桿平衡不變

J. 怎樣從數學的角度解釋杠桿原理最好有圖示

杠桿又分稱費力杠桿、省力杠桿和等臂杠桿，杠桿原理也稱為「杠桿平衡條件」。要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等。即：動力×動力臂=阻力×阻力臂，用代數式表示為F1· L1=F2·L2。式中，F1表示動力，L1表示動力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂。從上式可看出，要使杠桿達到平衡，動力臂是阻力臂的幾倍，阻力就是動力的幾倍。
中文名
杠桿原理
外文名
lever principle
別 稱
杠桿平衡條件
表達式
F1· L1=F2·L2.
提出者
阿基米德
提出時間
公元前245年左右
應用學科
物理科學
適用領域范圍
杠桿力學
適用領域范圍
建築，物理，機械
原理提出
古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：「給我一個支點，我就能撬起整個地球！」，這句話便是說杠桿原理。
阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中最早提出了杠桿原理。他首先把杠桿實際應用中的一些經驗知識當作「不證自明的公理」，然後從這些公理出發，運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了杠桿原理。
阿基米德
這些公理是：
（1）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；
（2）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；
（3）在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下 傾；
（4）一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替
（5）相似圖形的重心以相似的方式分布……
正是從這些公理出發，在「重心」理論的基礎上，阿基米德發現了杠桿原理，即「二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。」阿基米德對杠桿的研究不僅僅停留在理論方面，而且據此原理還進行了一系列的發明創造。據說，他曾經藉助杠桿和滑輪組，使停放在沙灘上的船隻順利下水，在保衛敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰斗中，阿基米德利用杠桿原理製造了遠、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻於敘拉古城外達3年之久。
這里還要順便提及的是，在中國歷史上也早有關於杠桿的記載。戰國時代的墨子曾經總結過這方面的規律，在《墨經》中就有兩條專門記載杠桿原理的。這兩條對杠桿的平衡說得很全面。裡面有等臂的，有不等臂的；有改變兩端重量使它偏動的，也有改變兩臂長度使它偏動的。這樣的記載，在世界物理學史上也是非常有價值的。
概念分析
編輯
在使用杠桿時，為了省力，就應該用動力臂比阻力臂長的杠桿；如果想要省距離，就應該用動力臂比阻力臂短的杠桿。因此使用杠桿可以省力，也可以省距離。但是，要想省力，就必須多移動距離；要想少移動距離，就必須多費些力。要想又省力而又少移動距離，是不可能實現的。
杠桿的支點不一定要在中間，滿足下列三個點的系統，基本上就是杠桿：支點、施力點、受力點。
其中公式這樣寫：動力×動力臂=阻力×阻力臂，即F1×L1=F2×L2這樣就是一個杠桿。
動力臂延伸
杠桿也有省力杠桿跟費力的杠桿，兩者皆有但是功能表現不同。例如有一種用腳踩的打氣機，或是用手壓的榨汁機，就是省力杠桿 (動力臂 > 阻力臂）；但是我們要壓下較大的距離，受力端只有較小的動作。另外有一種費力的杠桿。例如路邊的吊車，釣東西的鉤子在整個桿的尖端，尾端是支點、中間是油壓機 (力矩 > 力臂），這就是費力的杠桿，但費力換來的就是中間的施力點只要動小距離，尖端的掛勾就會移動相當大的距離。
兩種杠桿都有用處，只是要用的地方要去評估是要省力或是省下動作范圍。另外有種東西叫做輪軸，也可以當作是一種杠桿的應用，不過表現尚可能有時要加上轉動的計算。
古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言："假如給我一個支點，就能撬起地球"這句話不僅是催人奮進的警句，更是有著嚴格的科學根據的。