杠杆平衡与角度

A. 怎样从数学的角度解释杠杆原理

[编辑本段]原理简介
杠杆原理亦称“杠杆平衡条件”。要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力（用力点、支点和阻力点）的大小跟它们的力臂成反比。动力×动力臂=阻力×阻力臂，用代数式表示为F1• L1=F2•L2。式中，F1表示动力，L1表示动力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂。从上式可看出，欲使杠杆达到平衡，动力臂是阻力臂的几倍，动力就是阻力的几分之一。
古希腊科学家阿基米德有这样一句流传千古的名言：“给我一个支点，我就能撬起地球！”这句话有着严格的科学根据.
阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”，然后从这些公理出发，运用几何学通过严密的逻辑论证，得出了杠杆原理。这些公理是：（1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡；（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重的一端将下倾；（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距离远的一端将下倾；（4）一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替，只要重心的位置保持不变。相反，几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替（5）相似图形的重心以相似的方式分布……
正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。阿基米德对杠杆的研究不仅仅停留在理论方面，而且据此原理还进行了一系列的发明创造。据说，他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅般顺利下水，在保卫叙拉古免受罗马海军袭击的战斗中，阿基米德利用杠杆原理制造了远、近距离的投石器，利用它射出各种飞弹和巨石攻击敌人，曾把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久。
[编辑本段]概念分析
在使用杠杆时，为了省力，就应该用动力臂比阻力臂长的杠杆；如欲省距离，就应该用动力臂比阻力臂短的杠杆。因此使用杠杆可以省力，也可以省距离。但是，要想省力，就必须多移动距离；要想少移动距离，就必须多费些力。要想又省力而又少移动距离，是不可能实现的。正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。
杠杆的支点不一定要在中间，满足下列三个点的系统，基本上就是杠杆：支点、施力点、受力点。
其中公式这样写：支点到受力点距离(力矩) * 受力 = 支点到施力点距离(力臂) * 施力，即F1*L1=F2*L2这样就是一个杠杆。
杠杆也有省力杠杆跟费力的杠杆，两者皆有但是功能表现不同。例如有一种用脚踩的打气机，或是用手压的榨汁机，就是省力杠杆 (力臂 > 力矩)；但是我们要压下较大的距离，受力端只有较小的动作。另外有一种费力的杠杆。例如路边的吊车，钓东西的钩子在整个杆的尖端，尾端是支点、中间是油压机 (力矩 > 力臂)，这就是费力的杠杆，但费力换来的就是中间的施力点只要动小距离，尖端的挂勾就会移动相当大的距离。
两种杠杆都有用处，只是要用的地方要去评估是要省力或是省下动作范围。另外有种东西叫做轮轴，也可以当作是一种杠杆的应用，不过表现尚可能有时要加上转动的计算。
古希腊科学家阿基米德有这样一句流传千古的名言："假如给我一个支点，我就能把地球挪动!"这句话不仅是催人奋进的警句，更是有着严格的科学根据的。
[编辑本段]杠杆分类
杠杆可分为省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆。这几类杠杆有如下特征：
1.省力杠杆：L1>L2, F1<F2 ,省力、费距离。如拔钉子用的羊角锤、铡刀，瓶盖扳子，手推车等。
2．费力杠杆： L1＜L2, F1＞F2,费力、省距离，如钓鱼竿、镊子，筷子，船桨等。
3．等臂杠杆： L1＝L2, F1＝F2,既不省力也不费力，又不多移动距离，如天平、定滑轮等。

B. 30度夹角与杠杆的关系

通常,垂直于杠杆的力 最小 因为可以获得最大力臂
设 杠杆长度为L 所以 阻力臂为 根号3 *L/2 动力臂为1/2L
根据杠杆平衡条件 F 1/2L = G 根号3 *L/2
F =100倍根号3
=173.2N

C. 杠杆平衡

1.杠杆平衡：当杠杆在动力和阻力作用下静止或匀速转动时，我们就说杠杆平衡了。
注意：
① 静止包括水平静止和倾斜静止；
② 杠杆匀速转动，也是一种平衡状态。属于“动平衡”。即在相等时间内能转过相等的角度。高中将学习和研究。而杠杆静止不动的平衡则属于“静平衡”。
2.杠杆的平衡条件（杠杆平衡原理）：动力×动力臂=阻力×阻力臂，公式表示为：F1•l1 = F2•l2；或F1/F2=L2/L1。

希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~
祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

D. 杠杆倾斜平衡

只要两个力的方向平行，即保持平衡。
【维持原运动状态不变，原来静止即继续静止；原来运动即匀速摆动】

E. 杠杆受外力平衡，改变杠杆倾斜角度，重心位置与支点是否变化，如何变。杠杆倾斜平衡受力分析包括杠杆重力

要看重心是支点上，还是与支点在竖方向的一条线上。如果在支点上，重心位置不变，不在支点上，重心位置会发生变化【摘要】

杠杆受外力平衡，改变杠杆倾斜角度，重心位置与支点是否变化，如何变。杠杆倾斜平衡受力分析包括杠杆重力【提问】

要看重心是支点上，还是与支点在竖方向的一条线上。如果在支点上，重心位置不变，不在支点上，重心位置会发生变化【回答】

为什么水平位置平衡的杠杆倾斜时不平衡，含杠杆重力分析【提问】

因为两边受力不同【回答】

F. 杠杆平衡公式

杠杆平衡实际上就是物体转动的平衡，这与物体平动的对应的力的平衡是对应的。

杠杆平衡的物理量叫做力矩（M），是力的大小与力的作用线到支点距离的乘积，也就是力×力臂，单位为N·m，不可以写成能量的单位焦耳(J)。

如图所示，杠杆的支点在O，距离左端1/4杆长，左右两端分别有F1和F4作用，全杆的正中间有力F2作用，距离左端3/5处有倾斜力F3作用，与水平杆夹角为30°。

根据力矩的定义

F1相对于支点O的力矩为M1=F1×L/4=0.25F1L

F2相对于支点O的力矩为M2=F2×L/4=0.25F2L

F4相对于支点O的力矩为M4=F4×3L/4=0.75F4L

F3是个倾斜的力，根据力矩的定义，力臂为点O到力的作用线的距离，你可以延长F3然后做出O到延长线的垂线段的，垂线段的长度就是F3的力臂。

第二种方法就是将F3分解成垂直正交的的两个分离F3x和F3y，F3y的力臂为3L/5-L/4=0.35L

F3x的延长线过了支点O，故而力臂为零，那么F3x的力矩为零，那么F3的力矩M3就只有F3y的力矩故而M3=F3y×0.35L=0.5F3×0.35L=0.175F3L

杠杆平衡的条件时所有力矩的代数和为零。

即正力矩+负力矩=0

力矩是有方向的，它分为顺时针和逆时针两个方向，图中，我们可以看到如果只有F1作用，杆会绕O点逆时针方向转动，我们可以定义逆时针方向力矩为正，那么F1的力矩M1就是正力矩，而F2单独作用会使杆顺时针转动，故而力矩M2为负，在代入上述的平衡等式时，要加上负号。

根据图中关系我们可以有

(M1+M4)+(M2+M3)=0

即(0.25F1L+0.75F4L)+(-0.25F2L-0.175F3L)=0

G. 为什么有的杠杆是水平平衡有的杠杆是倾斜平衡

在具体的一个杠杆中，其支点的结构都是能使杠杆处于自稳定的结构。回
什么意思呢？就是如果答有外力产生一个新的力矩，破坏掉原来的平衡条件，使杠杆产生倾斜，则在这个倾斜过程中，杠杆的自稳定结构会产生支点微移、力臂重量的重新分布等，从而产生一个抵消外力的力矩，这个叫自平衡力矩。
自稳定结构在最大倾斜处产生的最大自平衡力矩叫这个杠杆的稳定范围。
杠杆每倾斜1度，自稳定结构所产生的自平衡力矩叫这个杠杆的稳定度。
稳定度的倒数叫这个杠杆的灵敏度。
比如，当杠杆在左侧增加一个小砝码，则左侧力矩增加，杠杆左倾，锥形支点与杠杆的接触处微小左移（或由于支点位置在水平杆的上侧，左倾时重心右移，可等效支点左移），左侧力臂减小，左侧力矩减小，右侧力臂增加，右侧的力矩增加，这个左右两侧力矩差就是自平衡力矩，与外加小砝码产生的力矩方向相反。
随倾斜角度增加，自平衡力矩增加，当自平衡力矩与小砝码产生的力矩相等时，杠杆就在这个倾斜角度稳定平衡。
如果小砝码太大，产生的力矩大于杠杆的稳定范围，则这个杠杆产生倾覆，杠杆结构破坏，这时的状态就不能用杠杆平衡的公式进行计算了。

H. 杠杆平衡了以后 让他偏转一个角度 理论上应该保持静止 可为什么实际中会偏转回去

在杠杆有了偏转角度后，杠杆的重心偏移，所以杠杆又回到原位置
数理化全精通为您解答
请采纳
O(∩_∩)O谢谢
你也可以想象一下，是一根绳子挂着这个杠杆，你把它偏转了，它是不是又会转回来，就是重心变了而已
不懂可追问
重心：http://ke..com/view/18274.htm

I. 为什么不平衡的杠杆转过一定角度后又会平衡

这个问题我们可以用例表来证明。
设一双袜子为15克、水份不同时间分别为7克、5克、3克、0克、杠杆L1为2、L2为3
第一次等式平衡3*（15＋7）*2＝2（15＋7）*3
第二次等式：3*（15＋5）*2＝2*（15＋5）*3、等式也平衡
第三次等式：3*（15＋3）*2＝2*（15＋3）*2等式也平衡
第四次等式：3*（15＋0）*2＝2*（15＋0）*3等式也平衡。
有此可见杠杆平衡不变

J. 怎样从数学的角度解释杠杆原理最好有图示

杠杆又分称费力杠杆、省力杠杆和等臂杠杆，杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”。要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等。即：动力×动力臂=阻力×阻力臂，用代数式表示为F1· L1=F2·L2。式中，F1表示动力，L1表示动力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂。从上式可看出，要使杠杆达到平衡，动力臂是阻力臂的几倍，阻力就是动力的几倍。
中文名
杠杆原理
外文名
lever principle
别 称
杠杆平衡条件
表达式
F1· L1=F2·L2.
提出者
阿基米德
提出时间
公元前245年左右
应用学科
物理科学
适用领域范围
杠杆力学
适用领域范围
建筑，物理，机械
原理提出
古希腊科学家阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”，这句话便是说杠杆原理。
阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”，然后从这些公理出发，运用几何学通过严密的逻辑论证，得出了杠杆原理。
阿基米德
这些公理是：
（1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡；
（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重的一端将下倾；
（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距离远的一端将下 倾；
（4）一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替，只要重心的位置保持不变。相反，几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替
（5）相似图形的重心以相似的方式分布……
正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。”阿基米德对杠杆的研究不仅仅停留在理论方面，而且据此原理还进行了一系列的发明创造。据说，他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的船只顺利下水，在保卫叙拉古免受罗马海军袭击的战斗中，阿基米德利用杠杆原理制造了远、近距离的投石器，利用它射出各种飞弹和巨石攻击敌人，曾把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久。
这里还要顺便提及的是，在中国历史上也早有关于杠杆的记载。战国时代的墨子曾经总结过这方面的规律，在《墨经》中就有两条专门记载杠杆原理的。这两条对杠杆的平衡说得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改变两端重量使它偏动的，也有改变两臂长度使它偏动的。这样的记载，在世界物理学史上也是非常有价值的。
概念分析
编辑
在使用杠杆时，为了省力，就应该用动力臂比阻力臂长的杠杆；如果想要省距离，就应该用动力臂比阻力臂短的杠杆。因此使用杠杆可以省力，也可以省距离。但是，要想省力，就必须多移动距离；要想少移动距离，就必须多费些力。要想又省力而又少移动距离，是不可能实现的。
杠杆的支点不一定要在中间，满足下列三个点的系统，基本上就是杠杆：支点、施力点、受力点。
其中公式这样写：动力×动力臂=阻力×阻力臂，即F1×L1=F2×L2这样就是一个杠杆。
动力臂延伸
杠杆也有省力杠杆跟费力的杠杆，两者皆有但是功能表现不同。例如有一种用脚踩的打气机，或是用手压的榨汁机，就是省力杠杆 (动力臂 > 阻力臂）；但是我们要压下较大的距离，受力端只有较小的动作。另外有一种费力的杠杆。例如路边的吊车，钓东西的钩子在整个杆的尖端，尾端是支点、中间是油压机 (力矩 > 力臂），这就是费力的杠杆，但费力换来的就是中间的施力点只要动小距离，尖端的挂勾就会移动相当大的距离。
两种杠杆都有用处，只是要用的地方要去评估是要省力或是省下动作范围。另外有种东西叫做轮轴，也可以当作是一种杠杆的应用，不过表现尚可能有时要加上转动的计算。
古希腊科学家阿基米德有这样一句流传千古的名言："假如给我一个支点，就能撬起地球"这句话不仅是催人奋进的警句，更是有着严格的科学根据的。