arma模型汇率的时间序列模型

㈠ 什么是ARMA模型

ARMA 模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模渗清喊式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量正肆、市场规模的预测等。 ARMA模型三种基本形式 1.自回归模型（AR：Auto-regressive）； 如果时间序列yt满足 其中εt是独立同分布的随机变量序列，且满足： E(εt) = 0 则称时间序列为yt服从p阶的自回归模型。 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式的根均在单位圆外，即φ(B) = 0的根大于1。 2.移动平均模型（MA：Moving-Average） 如果时间序列yt满足 则称时间序列为yt服从p阶移动平均模型； 移动平均模型平稳条件：任何条件下都平稳。 3.混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average） 如果时间序列yt满足： 则称时间丛野序列为yt服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。 或者记为φ(B)yt = θ(B)εt

㈡ 时间序列笔记-ARMA模型（一）

在datacamp网站上学习“ Time Series with R ”track
“ARIMA Modeling with R”课程 做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。
从本次笔记开始腊弊缓学习的课程从“Introction to Time Series Analysis”变为“ARIMA Modeling with R”了，主要用 astsa 包。
如无特殊说明，笔记中所使用数据均来自datacamp课程。
ARMA模型拟分为（一）（二）两部分发布，第一部分主要包括ARMA模型简介，模拟ARMA数据、拟合ARMA模型,单纯的AR模型或MA模型的定阶。第二部分主要包括ARMA模型的定阶策略、模型选择、残差分析。模型预测部分见ARIMA模型的笔记。

Wold证明了任何平稳的时间序列都可以表示成白噪声的线性组合：
   
其中 为常数，W表示白噪声。
所有ARMA模型都具有这个形式，这意味着ARMA模型很适合拟合平稳的时间序列。
ARMA模型即自回归滑动平均模型（Autoregressive moving average model），是由自回归模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
AR模型的基本形式： ( 为白噪声)
MA模型的基本形式： ( 为白噪声)
ARMA模型的基本形式： ，自相关且有着具有相关性的误差

可以用arima.sim(model = , n = , ...)函数产生ARMA模型的模拟数据，其中：

本课程中使用astsa包中的sarima()函数对数据进行模型拟合。使用该函数时除了需要输入数据外还要给出ARIMA模型的三个参数：AR阶数p,差分阶数d,MA阶数q。（d我们目前暂不涉及）
使用时sarima(x, p = 1, d = 0, q = 0)可以简写为sarima(x, 1, 0, 0)
例：

sarima()函数的主要输出结果包括：回归系数的参数估计结果；自由度；模型参数估计及其是否为0的t检验结果；衡量模型拟合效果的一些判断指标（AIC BIC等）。此外还会自动输出一张内含4张图的残差诊断图，在后面的讲解中再详细说：

AR阶数为p,MA阶数为q的ARMA模型记为ARMA(p,q)。在拟合ARMA模型时需要指定p、q的值。如卜碰何确定p、q的值就是ARMA模型的定阶问题。
一个常用的定阶方法是利用ACF图和PACF图(自相关图和偏自相关图)，不同模型的ACF、PACF图表现见下表轮模：

ACF(自相关函数)在 时间序列笔记-自相关 中有讲解。
偏自相关函数（PACF）之前没有提到过，它是去除 等的影响后， 和 之间的相关系数。
利用astsa包的acf2()函数可以同时画出时间序列数据的ACF图和PACF图.
下面的例子分别生成AR(1),AR(2),MA(1)模型的数据(分别对应x,y,z数据)，并查看对应的ACF图和PACF图：

单纯的AR或MA模型根据ACF和PACF图还是比较容易定阶的，但p、q均不为0的ARMA模型定阶就没这么简单了，详见下一个笔记。

㈢ 数据分析技术：时间序列分析的AR/MA/ARMA/ARIMA模型体系

前面草堂君已经按照时间序列分析的教学顺序推送了以下文章，大家可以直接点击下方文章名称阅读回顾：

在以上这些文章中，介绍了什么是时间序列以及时间序列分析的作用、时间序列的描述、时间稿信序列的变动成分组成、如何用指数平滑模型分析带有长期趋势和季节变动两种变动成分的时间序列。可惜的是，事实总比想象来得复杂，很多时间序列的变动成分组成并不能直接通过时间序列图看出来，这个时候，通过时间序列分解的方法分析时间序列就不太合适了，而且准确性也会大打折扣。

因为传统时间序列分析技术（时间序列分解法）的缺陷，所以统计学家开发出更为通用的时间序列分析方法，其中AR/MA/ARMA/ARIMA在这个发展过程中扮演了非常重要的角色，直到现在，它们都在实际工作生活中发挥重要作用。这四种分析方法的共同特点都是跳出变动成分的分析角度，从时间序列本身出发，力求得出前期数据与后期数据的量化关系，从而建立前期数据为自变量，后期数据为因变量的模型，达到预测的目的。来个通俗的比喻，大前天的你、前天的你、昨天的你造就了今天的你。

虽然AR/MA/ARMA/ARIMA是四种可以独立使用的分析方法，但是它们其实是互补的关系，适用于包含不同变动成分的时间序列。由于这四种分析方法涉及的原理解释起来需要大量篇幅，所以草堂君在这里做通俗介绍。

通俗介绍四种时间序列分析法之前，需要先回顾前面介绍的一个知识点，平稳时间序列和非平稳时间序列，AR/MA/ARMA用于分析平稳时间序列，ARIMA通过差分可以用于处理非平稳时间序列。平稳时间序列和非平稳时间序列如下面两幅图所示：

一般具有长期趋势的时间序列都是非平稳时间序列。根据趋势的不同，可以使用差分将具有长期趋势的时间序列转换成平稳时间序列知带。例如，线性增长的长期趋势，可以通过一阶差分形成新的平稳的（消除长期趋势）时间序列：

例如，时间序列的数值为线性增长的(1,2,3,4,5,6,7,8)，经过一阶差分以后，新的时间序列的数值为(1,1,1,1,1,1,1)，就成为稳定的时间序列了。

根据长期趋势的发展趋势不同，可以进行差分的次数和方法也不相同，一般的规律如下：

这四种模型的名称都是它们英文全称的缩写。AR模型称为自回归模型（Auto Regressive model）；MA模型称为移动平均模型（Moving Average model）；ARMA称为自回归移动平均模型（Auto Regressive and Moving Average model）；ARIMA模型称为差分自回归移动平均模型。

如果某个时间序列的任意数值可以表示成下面的回归方程，那么该时间序列服从p阶的自回归过程，可以表示为AR(p)：

可以发现，AR模型利用前期数值与后期数值的相关关系（自相关），建立包含前期数值和后期数值的回归方程，达到预测的目的，因此成为自回归过程。这里需要解释白噪声，大家可以将白噪声理解成时间序列数值的随机波动，这些随机波动的总和会等于0，例如前面统计基础文章中介绍的，某条饼干的自动化生产线，要求每包饼干为500克，但是生产出来的饼干产品由于随机因素的影响，不可能精确的等于500克，而是会在500克上下波动，这些波动的总和将会等于互相抵消等于0。

如果某个时间序列的任意数值可以表示成下面的回归方程，那么该时间序列服从q阶的移动平均过程，可以表示为MA(q)：

可以发现，某个时间点的指标数值等于白噪声序列的加权和，如果回归方程中，白噪声只有两项，那么该移动平均过程为2阶移动平均过程MA(2)。比较自回归过程和移动平均过程可知，移动平均过程其实可以作为自回归过程的补充，解决自回归方差中白噪声的求解问题，两者的组合就成为自回归移动平均过程，称为ARMA模型。

自回归移动平均模型由两部分组成：自回归部分和移动平均部分，因此包含两个阶数，可以表示为ARMA(p,q)，p是自回归阶数，键猛轮q为移动平均阶数，回归方程表示为：

从回归方程可知，自回归移动平均模型综合了AR和MA两个模型的优势，在ARMA模型中，自回归过程负责量化当前数据与前期数据之间的关系，移动平均过程负责解决随机变动项的求解问题，因此，该模型更为有效和常用。

介绍时间序列平稳性时提到过，AR/MA/ARMA模型适用于平稳时间序列的分析，当时间序列存在上升或下降趋势时，这些模型的分析效果就大打折扣了，这时差分自回归移动平均模型也就应运而生。ARIMA模型能够用于齐次非平稳时间序列的分析，这里的齐次指的是原本不平稳的时间序列经过d次差分后成为平稳时间序列。

在现实生活中，存在很多非平稳的时间序列，它们的均值和方差是随着时间的变化而变化的，幸运的是，统计学家们发现，很多时间序列本身虽然不平稳，但是经过差分（相邻时间点的指标数值相减）之后，形成的新时间序列就变成平稳时间序列了。因此，差分自回归移动平均模型写成ARIMA(p,d,q)。p代表自回归阶数；d代表差分次数；q代表移动平均阶数。在spss软件中，有时输出的ARIMA模型包括6个参数：ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)，这是因为如果时间序列中包含季节变动成分的话，需要首先将季节变动分解出来，然后再分别分析移除季节变动后的时间序列和季节变动本身。这里小写的p,d,q描述的是移除季节变动成分后的时间序列；大写的P,D,Q描述的是季节变动成分。两个部分是相乘的关系。因此，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)也被称为复合季节模型。

时间序列分析的文章更新到这里，总共介绍了两个时间序列分析的体系：时间序列分解模型体系和AR/MA/ARMA/ARIMA模型体系。两者的分析原理是不同的，时间序列分解是力求将时间序列分解成不同的变动成分，分析每种变动成分的规律，然后在综合各种成分的规律用于预测；AR/MA/ARMA/ARIMA模型体系是从时间序列数值本身的相关关系出发，将移动平均技术、相关分析技术和平稳技术（差分）等纳入模型，力求建立时间序列数值之间的回归方程，从而达到预测的目的。

下篇推送将重点介绍ARIMA模型的分析原理：包括如何确定p，d，q参数；如何判断模型的拟合效果；如何利用SPSS做时间序列的ARIMA模型分析。

㈣ 时间序列分析模型——ARIMA模型

姓名：车文扬 学号：16020199006

【嵌牛导读】：什么是 ARIMA模型

【嵌牛鼻子】： ARIMA

【嵌牛提问】： ARIMA模型可以具体应用到什么地方？

【嵌牛正文】：

一扒含、研究目的

传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但经济理论通常不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以隐此改出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构方法来建立各个变量之间关系的模型，如向量自回归模型（vector autoregression,VAR）和向量误差修正模型（vector error correction model,VEC）。

在经典的回归模型中，主要是 通过回归分析来建立不同变量之间的函数关系（因果关系），以考察事物之间的联系 。本案例要讨论如何 利用时间序列 数据本身建立模型，以研究事物发展自身的规律 ，并据此对事物未来的发展做出预测。研究时间序列数据的意义：在现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化、反映股市行情的各种指数等通常都可以表达为时间序列数据，通过研究这些数据，发现这些经济变量的变化规律（对于某些变量来说，影响其发展变化的因素太多，或者是主要影响变量的数据难以收集，以至于难以建立回归模型来发现其变化发展规律，此时，时间序列分析模型就显现其优势——因为这类模型不需要建立因果关系模型，仅需要其变量本身的数据就可以建模），这样的一种建模方式就属于时间序列分析的研究范畴。而时间序列分析中，ARIMA模型是最典型最常用的一种模型。

二、ARIMA模型的原理

1、ARIMA的含义。 ARIMA包含3个部分，即AR、I、MA。AR——表示auto  regression，即自回归模型；I——表示integration，即单整阶数，时间序列模型必须是平稳性序列才能建立计量模型，ARIMA模型作为时间序列模型也不例外，因此首先要对时间序列进行单位根检验，如果是非平稳序列，就要通过差分来转化为平稳序列，经过几次差分转化为平稳序列，就称为几阶单整；MA——表示moving average，即移动平均模型。可见，ARIMA模型实际上是AR模型和MA模型的组合。

ARIMA模型与ARMA模型的区别：ARMA模型是针对平稳时间序列建立的模型。ARIMA模型是针对非平稳时间序列建模。换句话说，非平稳时间序列要建立ARMA模型，首先需要经过差分转化为平稳时间序列，然后建立ARMA模型。

2、ARIMA模型的原理。 正如前面介绍，ARIMA模型实际上是AR模型和MA模型的组合。

AR模型的形式如下：

其中：参数为常数，是阶自回归模型的系数；为自回归模型滞后阶数；是均值为0，方差为的白噪声序列。模型记做——表示阶自回归模型。

MA模型的形式如下：

其中：参数为常数；参数是阶移动平均模型的系数；为移动平均模型滞后阶数；是均值为0，方差为的灶判白噪声序列。模型记做——表示阶移动平均模型。

ARIMA模型的形式如下：

模型记做。为自回归模型滞后阶数，为时间序列单整阶数，为阶移动平均模型滞后阶数。当时，，此时ARIMA模型退化为MA模型；当时，，ARIMA模型退化为AR模型。

3、建立ARIMA模型需要解决的3个问题。 由以上分析可知，建立一个ARIMA模型需要解决以下3个问题：

（1）将非平稳序列转化为平稳序列。

（2）确定模型的形式。即模型属于AR、MA、ARMA中的哪一种。这主要是通过 模型识别 来解决的。

（3）确定变量的滞后阶数。即和的数字。这也是通过 模型识别 完成的。

4、ARIMA模型的识别

ARIMA模型识别的工具为自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）。

自相关系数： 时间序列滞后k阶的自相关系数由下式估计：

其中是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称为时间序列的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的形式。它表明序列的邻近数据之间存在多大程度的相关性。

偏自相关系数： 偏自相关系数是在给定的条件下，之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数度量。在k阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式为：

其中是在k阶滞后时的自相关系数估计值。称为偏相关是因为它度量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关表示，那么偏相关在k期滞后下的值趋于0。

识别：

AR(p) 模型 的自相关系数是随着k的增加而呈现指数衰减或者震荡式的衰减，具体的衰减形式取决于AR(p)模型滞后项的系数；AR(p)模型的偏自相关系数是p阶截尾的。因此可以通过识别AR(p)模型的偏自相关系数的个数来确定AR(p)模型的阶数p。

MA(q) 模型 的自相关系数在q步以后是截尾的。MA(q)模型的偏自相关系数一定呈现出拖尾的衰减形式。

ARMA(p,q) 模型 是AR(p)模型和MA(q)模型的组合模型，因此ARMA(p,q)的自相关系数是AR(p)自相关系数和MA(q)的自相关系数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p,q都不为0，它具有拖尾性质。

通常，ARMA(p,q)过程的偏自相关系数可能在p阶滞后前有几项明显的 尖柱 ，但从p阶滞后项开始逐渐趋于0；而它的自相关系数则是在q阶滞后前有几项明显的 尖柱 ，从q阶滞后项开始逐渐趋于0。

三、数据和变量的选择

本案例选取我国实际GDP的时间序列建立ARIMA模型，样本区间为1978—2001。数据来源于国家统计局网站上各年的统计年鉴，GDP数据均通过GDP指数换算为以1978年价格计算的值。见表1：

表1：我国1978—2003年GDP（单位：亿元）

年度GDP年度GDP年度GDP

19783605.6198610132.8199446690.7

19794074198711784.7199558510.5

19804551.3198814704199668330.4

19814901.4198916466199774894.2

19825489.2199018319.5199879003.3

19836076.3199121280.4199982673.1

19847164.4199225863.7200089340.9

19858792.1199334500.7200198592.9

四、ARIMA模型的建立步骤

1、单位根检验，确定单整阶数。

由单位根检验的案例分析可知，GDP时间序列为2阶单整的。即d=2。通过2次差分，将GDP序列转化为平稳序列 。利用序列来建立ARMA模型。

2、模型识别

确定模型形式和滞后阶数，通过自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）来完成识别。

首先将GDP数据输入Eviews软件，查看其二阶差分的AC和PAC。打开GDP序列窗口，点击View按钮，出现下来菜单，选择Correlogram（相关图），如图：

打开相关图对话框，选择二阶差分（2nd difference），点击OK，得到序列的AC和PAC。（也可以将GDP序列先进行二阶差分，然后在相关图中选择水平（Level））

从图中可以看出，序列的自相关系数（AC）在1阶截尾，偏自相关系数（PAC）在2阶截尾。因此判断模型为ARMA模型，且，。即：

3、建模

由以上分析可知，建立模型。首先将GDP序列进行二次差分，得到序列。然后在Workfile工作文件簿中新建一个方程对话框，采用 列表法 的方法对方程进行定义。自回归滞后项用ar表示，移动平均项用ma表示。本例中自回归项有两项，因此用ar(1)、ar(2)表示，移动平均项有一项，用ma(1)表示，如图：

点击确定，得到模型估计结果：

从拟合优度看，，模型拟合效果较好，DW统计量为2.43，各变量t统计量也通过显著性检验，模型较为理想。对残差进行检验，也是平稳的，因此判断模型建立正确。

㈤ 时间序列笔记-ARMA模型（二）

在datacamp网站上学习“ Time Series with R ”track
“ARIMA Modeling with R”课程 做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。
学习的课程为“ARIMA Modeling with R”，主要用 astsa 包。
如无特殊说明，笔记中所使用数据均来自datacamp课程。
ARMA模型拟分为（一）（二）两部分发布，第一部分主要包括ARMA模型老埋锋简介，模拟ARMA数据、拟合ARMA模型,单纯的AR模型或MA模型的定阶。第二部分主要包括ARMA模型的定阶策略、模型选择、残差分析。模型预测部分见ARIMA模型的笔记。

在 时间序列笔记-ARMA模型（一） 中，我们提到如果数据符合单纯AR或MA模型，则根据ACF和PACF图的截尾情况可以比较方便的确定AR阶数或MA阶数：

但是如果p q都不为0，那么ACF和PACF图均为拖尾表现，p、q的值就无侍晌法一眼看出来了，例如我们模拟一个ARMA数据：

可以看出，从ACF和PACF图中很难判断p q的值。

推荐的定阶策略：从最低阶开始拟合模型，每次增加一个参数并观察拟合结果的变化。

根据推荐的定阶策略，我们实际上要拟合很多不同模型，根据拟合结果从中选择最优模型作为最终模型。判断模型拟合优劣的指标有很多，这里我们简单介绍2个最为常用的指标：AIC BIC
简单来说，AIC或BIC会计算模型在训练数据上的误差：
该项越小越好，为防液山止过拟合，再加上对模型复杂性的惩罚项：

随着模型复杂度越大，Error项会减小但是惩罚项会增加。
AIC和BIC对于模型拟合效果的判断都是越小越好。二者对于Error项的计算是一样的，不同在于惩罚项设置不同：AIC中 ,BIC中
我在上看到一篇讲AIC BIC比较详细的博客，推荐阅读： AIC和BIC准则
在进行模型拟合时，sarima()函数会生成模型的AIC值和BIC值，帮助我们我们选择适当的模型。

ARMA模型假定残差是一个高斯白噪声，进行残差分析可以考察这个假定。
用sarima()函数拟合模型时会自动输出一个残差分析图，包括四个部分：

下例中对同一个数据分别拟合两个ARMA模型并考察残差情况：

残差分析是建模的重要环节，也有助于我们进行模型选择。

㈥ ARMA模型的基本形式

ARMA模型分为以下三种：
自回归模型（AR：Auto-regressive）
如果时间序列满足

其中是独立同分布的随机变量序列，且满足：

以及 E() = 0
则称时间序列为服从p阶的自回归模型。
自回归模型的平稳条件：
滞后算子唤竖多项式
的根均在单位圆外，即φ(B) = 0的根大于1。
移动平均模型（MA：Moving-Average）
如果时间序列满足

，则称时间序列为服从q阶移动平均模型；
移动平均模型平稳条件：任何条件下余链键都平稳。
自回归滑动平均模型（ARMA）
如果时间序列满足：

则称时间序列为服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模竖巧型。或者记为φ(B)= θ(B)